傅立叶级数
傅立叶级数展开
对于周期为 2l 的函数，可以将其进行傅立叶级数展开。
傅立叶级数展开式
f(x)=a_0+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos\frac{k\pi x}{l}+ b_k\sin\frac{k\pi x}{l})傅立叶系数
\begin{cases}
a_k=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{k\pi}{l}x\,dx\\
b_k=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{k\pi}{l}x\,dx
\end{cases}实数形式的傅立叶变换
傅立叶积分
f(x)=\int_{0}^{\infty}A(\omega)\cos\omega x\,d\omega+\int_{0}^{\infty}B(\omega)\sin\omega x\,d\omega傅立叶变换
\begin{cases}
A(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)\cos\omega\xi\,d\xi\\
B(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)\sin\omega\xi\,d\xi
\end{cases}复数形式的傅立叶变换
傅立叶积分
f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega傅立叶变换
F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx一些有用的性质
f^{\prime}(x)\to i\omega F(\omega)F^{\prime}=-ixf(x)f(x-x_0)\to e^{-i\omega x_0}F(\omega)e^{-i\omega x_0}f(x)\to F(\omega+\omega_0)f_1(x)*f_2(x)\to F_1(\omega)F_2(\omega)
δ 函数
\delta(x)=\begin{cases}
0&(x\neq0)\\
\infty&(x=0)
\end{cases}\int_{a}^{b}\delta(x)\,dx= \begin{cases}
0&(a,b<0&or&a,b>0)\\
1&(a<0< b)
\end{cases}δ 函数的挑选性
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0)拉普拉斯变换
f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}F(p)e^{pt}\,dpF(p)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-pt}\,dt微分方程
First-order Linear Non-homogeneous Ordinary Differential Equation
对于方程
y^\prime+p(x)y=f(x)
其通解为
y=e^{-\int p(x)\,dx}(C+\int f(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx)Second-order Ordinary Differential Equation
形式十分多样，而且很难解。只讲一种，对于方程
y^{\prime\prime}+p(x)y^\prime+qy=f(x)其通解为
y=(c_1+c_1(x))e^{r_1x}+(c_2+c_2(x))e^{r_2x}=(c_1+c_1(x))y_1+(c_2+c_2(x))y_2其中
c_1(x)=\int\frac{-y_2}{W}f(x)\,dxc_2(x)=\int\frac{y_1}{W}f(x)\,dxW=\left|\begin{array}{cccc}
y_1&y_2\\
y_1^\prime&y_2^\prime\\
\end{array}\right|Second-order Linear Homogeneous Partial Differential Equation
一维无界弦振动
对于方程
\begin{cases}
u_{tt}-a^2u_{xx}=0,&\\
u|_{t=0}=\varphi(x)\\
u_t|_{t=0}=\psi(x)
\end{cases}根据 D’Alembert 公式得
u=\frac{1}{2}[\varphi(x+at)+\varphi(x-at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)\,d\xi两端固定的弦微小横振动
对于方程
\begin{cases}
u_{tt}-a^2u_{xx}=0,&0< x< l\\
u|_{x=0}=0&u|_{x=l}=0\\
u|_{t=0}=\varphi(x)& u_t|_{t=0}=\psi(x)
\end{cases}下面是其解法
u(x,t)=X(x)T(t)
\frac{X^{\prime\prime}}{X}=\frac{T^\prime}{a^2T}=-\lambdaX^{\prime\prime}+\lambda X=0\quad T^\prime+\lambda a^2T=0(1)若\space\lambda<0,X=c_1e^{\sqrt{-\lambda}x}+c_2e^{-\sqrt{-\lambda}x}(2)若\space\lambda=0,X=c_1x+c_2
(3)若\space\lambda>0,X=c_1\cos\sqrt{\lambda}x+c_2\sin\sqrt{\lambda}x