数学物理方法 – 学习笔记

一些数学物理方法的学习笔记,专为考试而准备的各种公式。

傅立叶级数

傅立叶级数展开

对于周期为 2l 的函数,可以将其进行傅立叶级数展开。

傅立叶级数展开式
f(x)=a_0+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos\frac{k\pi x}{l}+ b_k\sin\frac{k\pi x}{l})
傅立叶系数
\begin{cases}
a_k=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{k\pi}{l}x\,dx\\
b_k=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{k\pi}{l}x\,dx
\end{cases}

实数形式的傅立叶变换

傅立叶积分
f(x)=\int_{0}^{\infty}A(\omega)\cos\omega x\,d\omega+\int_{0}^{\infty}B(\omega)\sin\omega x\,d\omega
傅立叶变换
\begin{cases}
A(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)\cos\omega\xi\,d\xi\\

B(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)\sin\omega\xi\,d\xi

\end{cases}

复数形式的傅立叶变换

傅立叶积分
f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega
傅立叶变换
F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx
一些有用的性质
f^{\prime}(x)\to i\omega F(\omega)
F^{\prime}=-ixf(x)
f(x-x_0)\to e^{-i\omega x_0}F(\omega)
e^{-i\omega x_0}f(x)\to F(\omega+\omega_0)
f_1(x)*f_2(x)\to F_1(\omega)F_2(\omega)

δ 函数

\delta(x)=\begin{cases}
0&(x\neq0)\\
\infty&(x=0)
\end{cases}
\int_{a}^{b}\delta(x)\,dx= \begin{cases}
0&(a,b<0&or&a,b>0)\\
1&(a<0< b)
\end{cases}

δ 函数的挑选性

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0)

拉普拉斯变换

f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}F(p)e^{pt}\,dp
F(p)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-pt}\,dt

微分方程

First-order Linear Non-homogeneous Ordinary Differential Equation

对于方程

y^\prime+p(x)y=f(x)

其通解为

y=e^{-\int p(x)\,dx}(C+\int f(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx)

Second-order Ordinary Differential Equation

形式十分多样,而且很难解。只讲一种,对于方程

y^{\prime\prime}+p(x)y^\prime+qy=f(x)

其通解为

y=(c_1+c_1(x))e^{r_1x}+(c_2+c_2(x))e^{r_2x}=(c_1+c_1(x))y_1+(c_2+c_2(x))y_2

其中

c_1(x)=\int\frac{-y_2}{W}f(x)\,dx
c_2(x)=\int\frac{y_1}{W}f(x)\,dx
W=\left|\begin{array}{cccc}
y_1&y_2\\
y_1^\prime&y_2^\prime\\
\end{array}\right|

Second-order Linear Homogeneous Partial Differential Equation

一维无界弦振动

对于方程

\begin{cases}
u_{tt}-a^2u_{xx}=0,&amp\\
u|_{t=0}=\varphi(x)\\
u_t|_{t=0}=\psi(x)
\end{cases}

根据 D’Alembert 公式得

u=\frac{1}{2}[\varphi(x+at)+\varphi(x-at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)\,d\xi
两端固定的弦微小横振动

对于方程

\begin{cases}
u_{tt}-a^2u_{xx}=0,&0< x< l\\
u|_{x=0}=0&u|_{x=l}=0\\
u|_{t=0}=\varphi(x)& u_t|_{t=0}=\psi(x)
\end{cases}

下面是其解法

u(x,t)=X(x)T(t)
\frac{X^{\prime\prime}}{X}=\frac{T^\prime}{a^2T}=-\lambda
X^{\prime\prime}+\lambda X=0\quad T^\prime+\lambda a^2T=0
(1)若\space\lambda<0,X=c_1e^{\sqrt{-\lambda}x}+c_2e^{-\sqrt{-\lambda}x}
(2)若\space\lambda=0,X=c_1x+c_2
(3)若\space\lambda>0,X=c_1\cos\sqrt{\lambda}x+c_2\sin\sqrt{\lambda}x

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