光学 – 学习笔记

一些光学的学习笔记,专为考试而准备的各种公式。

符号规则

先介绍一下光学系统中标记数值所用符号的符号规则,使其能够在公式中被正确使用。

在这里我们暂且只讨论光线从左到右的情况。

  • 物点在顶点 O 左侧,物距 s > 0,反之 < 0.
  • 折射像点在顶点 O 右侧,像距 s’ > 0,反之 < 0.
  • 反射像点在顶点 O 左侧,像距 s’ > 0,反之 < 0.
  • 曲率中心 C 在顶点 O 右侧,曲率半径 r > 0,反之 < 0.
  • 物方焦点 F 在顶点 O 左侧,物方焦距 f > 0,反之 < 0.
  • 像方焦点 F 在顶点 O 右侧,像方焦距 f’ > 0,反之 < 0.

透镜成像

焦距

焦距实际上是研究成像规则的时候衍生出的物理量,可以用来比较简洁明了地反映透镜成像的规律和性能。

物方焦距
f=\frac{n}{\frac{n_L-n}{r_1}+\frac{n^{\prime}-n_L}{r_2}}

其中,n 为物方介质折射率,n’ 为像方介质折射率,nL 为透镜折射率,r1 和 r2 分别为透镜两面分别的曲率半径。

像方焦距
f^\prime=\frac{n^{\prime}}{\frac{n_L-n}{r_1}+\frac{n^{\prime}-n_L}{r_2}}

和物方焦距公式基本相同。分数线上方 n 换为 n’ 即可。

特殊情况:n = n’ 时的物方和像方焦距
f=f^{\prime}=\frac{n}{(n_L-n)(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})}
特殊情况:置于空气中 n = n’ = 1 时的物方和像方焦距
f=f^{\prime}=\frac{1}{(n_L-1)(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})}

那么透镜如果一面是平的怎么办呢?这个时候,我们取该面曲率半径:

r=\infty

成像公式

高斯公式
\frac{f}{s}+\frac{f^\prime}{s^\prime}=1

其中,f 为物方焦距,f’ 为像方焦距,s1 为物距,s1’ 为像距。这个公式为单球面的成像公式,其中物方、像方焦距公式为

f=\frac{nr}{n^\prime-n}\hspace{1cm}f^\prime=\frac{n^\prime r}{n^\prime-n}

其中,n 为物方折射率,n’ 为像方折射率,r 为球面的曲率半径。

第一球面物距公式
\frac{n_L}{s_1^{\prime}}+\frac{n}{s_1}=\frac{n_L-n}{r_1}

其中,s1 为物距,s1’ 为像距。

第二球面物距公式
\frac{n_L}{s_2}+\frac{n^{\prime}}{s_2^{\prime}}=\frac{n^{\prime}-n_L}{r_2}

其中,s2 为物距,s2’ 为像距。实际上,s1’ 对应的像和 s2 是同一个,但它们的数值并不相同。

薄透镜成像公式
\frac{n}{s}+\frac{n^{\prime}}{s^{\prime}}=\frac{n_L-n}{r_1}+\frac{n^{\prime}-n_L}{r_2}

其实就是上面两个公式联立而来。

光焦度

\Phi=\frac{n_L-n}{r_1}+\frac{n^{\prime}-n_L}{r_2}

其实就是薄透镜成像公式等式右侧。关于它还有

\Phi=\frac{n}{f}=\frac{n^{\prime}}{f^{\prime}}

光的干涉

光程

L=ns

光程差

光程差,顾名思义光程的差值。

\Delta L

干涉规则

以下情况总是出现叠加状态:

\Delta=\Delta L+\lambda_{lost}=k\lambda

以下情况总是出现相消状态:

\Delta=\Delta L+\lambda_{lost}=(2k-1)\frac{\lambda}{2}

通常根据 k 的值,我们称其为 “第 k 条明纹” 或 “第 k 条暗纹”。k = 1, 2, …

不同干涉实例

杨氏双缝干涉

杨氏双缝干涉属于是典型的典型了。

\Delta=\frac{xd}{D}

其中 d 为双缝间距,D 为光屏到小孔的距离,x 为竖直方向长度值。注意这里 x 是允许取负值的,但干涉规则中并不涉及这一点(因为干涉规则是我自己瞎写的),需要做相应改动,主要是相消状态公式应修改为:

\Delta=\Delta L+\lambda_{lost}=(2k+1)\frac{\lambda}{2}

此时 k = -1, -2, … 便可以适应此公式。

使用此公式快速通过条纹间距计算得光的波长:

\Delta x=\frac{D\lambda}{d}
薄膜干涉
\Delta=2nh\cos\gamma+\frac{\lambda}{2}=2h\sqrt{n^2-n_1^2\sin^2\alpha}+\frac{\lambda}{2}

其中 n 为薄膜折射率,n1 为环境介质,γ 为折射角,α 为入射角。

劈形薄膜干涉
\Delta=2nh+\frac{\lambda}{2}
牛顿环干涉
h=R-\sqrt{R^2-r^2}\approx\frac{r^2}{2R}
\Delta=2h+\frac{\lambda}{2}

使用此公式快速计算得第 k 级明纹的位置:

r_k=\sqrt{kR\lambda}
迈克尔逊干涉仪
\Delta=2d\cos\theta
干涉条纹或圆环变化规律

事实上根据干涉规则很容易发现,想要通过改变条件使相邻明纹暗纹相互交换,只需满足

\Delta\Delta=\Delta\Delta L=\frac{\lambda}{2}

干涉的实际应用

增透膜

增透膜用于涂敷于玻璃表面上用于增加透射的光能量,实际上原理就是使上下表面的反射光相消。

\Delta=2n_1h

其中 n1 为增透膜的折射率,h 为膜厚。要使增透膜起作用,必须满足以下折射率条件:

n_0< n_1< n

其中 n0 为环境介质折射率,n1 为膜折射率,n2 为玻璃折射率。

增反膜

原理和条件与增透膜完全相同,不同的是增反膜需要满足不同的折射率条件:

n_0< n_1>n

光场相关性

空间相关性

在双缝干涉实验中,若光源的宽度过大,干涉极小与干涉极大将发生重叠而无法分辨,光源 S 的极限宽度为

b_0=\frac{\lambda R}{d}

其中,b0 为极限宽度,λ 为光源波长,R 为光源到双缝的距离,d 为双缝间距。

时间相关性

原子每一次发光的时间是有限的,因此有波列的空间长度为

L=c\tau

其中 L 为波列长度,c 为光速,τ 为原子每次发光的持续时间。

结合光的速度波长公式又可得到波列长度与波长的关系

L=\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}

其中,λ 为光源波长,Δλ 为光源光谱线宽度。

由此,在双缝衍射实验中能看到的条纹级数范围为

k<\frac{\lambda}{\Delta\lambda}

此时最大光程差也被叫为光源的相干长度,为

\Delta_m=k\lambda=\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}

光的衍射

菲涅耳圆孔衍射

中心点光强计算方法如下:

E(P_0)=A_{k+1}-A_{k+2}+\cdots(-1)^{n+1}A_n=\frac{1}{2}[A_1+(-1)^{n+1}A_n]

其中 n 为圆孔内包含的半波带个数。并且我们近似认为:

A_k=A_1

其中 k 为任意正整数。

菲涅耳波带片

菲涅耳波带片是一种特殊的光阑,使得奇数半波带透光,偶数半波带遮光(或相反)。

\frac{1}{R}+\frac{1}{b}=\frac{k\lambda}{\rho_k^2}=\frac{1}{f}

其中 R 为光源离圆孔的距离,b 为圆孔到观察点的距离,λ 为光线波长,ρk 为第 k 个半波带的外圆半径,k 代表第 k 个半波带,f 为波带片的焦距。

中心是亮斑或暗斑将取决于圆孔内包含的半波带个数 km(即满足 ρk < r 的最大 k 值),若 km 为奇数,则中心为亮斑,反之为暗斑。

夫琅禾费单缝衍射

\Delta=a\sin\theta

其中 a 为缝宽,θ 为衍射角。

明暗纹规律与干涉相同。这里我们近似认为(θ 较小时):

\theta=\frac{x}{f}

其中 f 为缝后放置透镜的焦距,x 为光屏上坐标。

于是有(θ 较小时):

\Delta x=\frac{f}{a}\lambda

其中 Δx 为相邻明纹(或暗纹)之间的距离。

对于中央主极大有:

\Delta x=\frac{2f}{a}\lambda

其中 Δx 为中央主极大宽度。

光学成像仪器的分辨本领

本来我不认为这是一个值得获得与其他同等级标题话题相同等级标题的话题,但是鉴于老师在此单元布置了不少此方面的作业题,我直接怕了,所以单独拿出来简述一下。

\delta\theta=1.22\frac{\lambda}{nD}

其中 δθ 为物方最小分辨角,n 为物方折射率,λ 为光线波长,D 为通光孔直径。同样的方法可计算得像方最小分辨角,不再赘述。

夫琅禾费双缝衍射

\Delta=d\sin\theta

其中 d 为双缝间距,θ 为衍射角。

\Delta=\begin{cases}
0&中央主极大\\
\pm k\lambda&明纹\\
(2k+1)\frac{\lambda}{2}&暗纹
\end{cases}

近似方法与计算夫琅禾费单缝衍射相同,因此有:

\Delta x=\frac{f}{d}\lambda

其中 Δx 为相邻明纹(或暗纹)之间的距离。

衍射光栅

根据夫琅禾费双缝衍射得知主极大位置公式:

d\sin\theta=k\lambda

其中 d 为缝间距(也称光栅常数),θ 为角位置,k 为第 k 级主极大,也称为第 k 级谱线,k = 0, ±1, ±2, …

第 k 光谱能分辨的最小波长差:

\Delta\lambda=\frac{\lambda}{kN}

其中 Δλ 为第 k 光谱能分辨的最小波长差,λ 为光线波长(精确度低于波长差),N 为光栅缝数,其可由以下公式计算获得:

N=\frac{L}{d}

其中 L 为光栅宽度(或长度),d 为为缝间距(也称光栅常数)。

光栅能看到的最大级数自然是

k_m<\frac{d}{\lambda}
缺级

由于单缝衍射因子的作用,光栅会发生缺级现象,条件如下:

k=\frac{d}{a}m

其中 k 为第 k 级谱线,这些主极大将会发生缺级而不可见,m = 0, ±1, ±2, …

光栅的色散本领
D_\theta=\frac{\delta\theta}{\delta\lambda}=\frac{k}{d\cos\theta_k}

其中 Dθ 为角色散本领,d 为光栅常数,k 为第 k 级谱线,θk 为第 k 级谱线的角位置。

D_l=fD_\theta=\frac{fk}{d\cos\theta_k}

其中 Dl 为线分散本领。

光栅的色分辨本领
R=\frac{\lambda}{\delta\lambda}=kN

其中 R 为色分辨本领,k 为第 k 级谱线,N 为光栅总缝数。

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